inequação do 2° grau

Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se, claro, as propriedades das desigualdades e o significado da solução.

Assim, resolvendo, temos:





É possível, para resolver inequações do segundo grau, proceder como em equações do segundo grau?

Vejamos o exemplo .

A resolução de equações do segundo grau se dá, entre outras formas, pela fórmula de Bhaskara:



E agora? Qual seria o significado dos valores encontrados para o conjunto solução? Se a inequação é , deveríamos escrever a solução como ou ? Que significado isso teria?

Na verdade, resolver a inequação é saber para quais valores de x a expressão é positiva.

Graficamente, essa expressão, em função de x, é uma parábola, uma função do segundo grau. Se estudarmos o sinal da função do segundo grau, descobriremos para quais valores de x essa expressão é positiva.

Seu gráfico é:



Estudando o sinal da função, temos:



Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são ou . E o conjunto solução da inequação é .

Exemplos:

1)

Achando as raízes da função, temos



E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0):



A solução é .

2)

As raízes da função são



A função é côncava para baixo, pois a < 0. E o estudo do sinal fica assim:



A função é toda negativa, exceto no ponto x = 2, onde ela é nula.

Como, no exemplo, queremos saber onde a função é positiva ou nula , o único ponto que faz parte da solução é x = 2.

A solução é .

3)

A função não possui raízes reais. Logo, ela não intercepta o eixo das abscissas. A concavidade é para baixo, pois a < 0.



Como queremos saber onde a função é positiva, o conjunto solução da função é vazio. Logo, S = Ø.
Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas: ax² + bx + c > 0;
ax² + bx + c < 0;
ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c ≤ 0.
Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.
1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:

a > 0	a < 0

Exemplo 1: Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.
Solução:
-x² + 4 = 0.
x² – 4 = 0.
x₁ = 2
x₂ = -2

 

As inequações são expressões matemáticas que utilizam na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente


As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

S = {x Є R / –7/3 < x < –1}


Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2}



Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.

S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}


Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x Є R / x < 3 e x > 3}